Calculadora del mínimo común múltiplo (mcm) y del mcd
MatemáticasElige de cuántos números quieres el mcm e introdúcelos: la calculadora te da el mínimo común múltiplo, el máximo común divisor y la descomposición en factores primos de cada número.
Paso a paso
mcm(12, 18) = 12 · 18 / 6 = 36
- Factores primos: 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3².
- De cada primo cuenta el exponente mayor: mcm = 2² · 3² = 36.
- El máximo común divisor es 6. Comprobación: 12 · 18 / 6 = 216 / 6 = 36.
En cuanto todos los datos sean válidos, aquí verás cada paso del cálculo.
Fórmula
- a, b, c
- los números de los que buscas el mcm
- mcd
- máximo común divisor de los dos números
- p1, …, pk
- los números primos que aparecen como factor en al menos uno de los números
- m1, …, mk
- el exponente mayor con el que ese primo aparece en alguno de los números
Cómo se calcula
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números enteros es el menor número positivo que se puede dividir entre cada uno de ellos sin que sobre nada. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24…; los de 6 son 6, 12, 18, 24… Tienen en común 12, 24 y los demás múltiplos de 12: el menor es 12. Su pareja es el máximo común divisor (mcd), el mayor número que divide a todos sin resto. El mcd de 4 y 6 es 2.
La calculadora usa la descomposición en factores primos: descompone cada número en primos, toma cada factor primo que aparece con su exponente mayor y los multiplica. Para 12 = 2² · 3 y 18 = 2 · 3² sale 2² · 3² = 36. Para el mcd solo cuentan los primos que están en todos los números, con su exponente menor: aquí 2 · 3 = 6. Con dos números, ambos valores cumplen mcm · mcd = a · b, es decir, 36 · 6 = 12 · 18 = 216.
A mano también se puede hacer sin descomponer. Escribe los múltiplos del número mayor, por ejemplo 18, 36, 54, y comprueba en cada uno si los demás números lo dividen: el primer múltiplo que sirve es el mcm. Si un número divide al otro, el mcm es el mayor de los dos; si dos números no tienen más divisor común que el 1 (son primos entre sí), el mcm es su producto, por ejemplo mcm(3, 5) = 15.
Los números deben ser enteros de 1 a 1.000.000. Si el mcm supera 9.007.199.254.740.991 ya no se puede mostrar de forma exacta y la calculadora te avisa.
La fórmula
Un múltiplo de un número contiene todos sus factores primos. Por eso un múltiplo común tiene que contener cada primo al menos tantas veces como aparece en el número que lo tiene con el exponente mayor. El mínimo común múltiplo toma justo ese exponente y nada más.
De ahí sale la relación por la que el mcm de a y b se obtiene dividiendo el producto a · b entre su mcd: en el producto, los factores comunes aparecen dos veces, y al dividir entre el mcd queda de cada primo la mayor de las dos potencias. Ya Euclides, en el libro VII de los Elementos, describió cómo hallar el menor número que miden dos números dados. Con más de dos números se aplica paso a paso, porque mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c).
Ejemplo de cálculo
¿Cuál es el mcm de 12, 18 y 30?
- Factores primos: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² y 30 = 2 · 3 · 5.
- El exponente mayor de cada primo: 2² (de 12), 3² (de 18) y 5 (de 30).
- El mcm es 2² · 3² · 5 = 180. El mcd es 6, porque solo los primos 2 y 3 están en los tres números, una vez cada uno.
El mcm de 12, 18 y 30 es 180. El máximo común divisor es 6.
Pasar el ejemplo a la calculadoraPreguntas frecuentes
¿Qué es el mcm?
El mcm, mínimo común múltiplo, de varios números enteros es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos. En inglés se llama lcm (least common multiple). El mcm de 4 y 6 es 12, porque 12 es el primer número que aparece a la vez entre los múltiplos de 4 y los de 6.
¿Qué es un múltiplo?
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicarlo por otro número entero. Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20… y cualquier número es múltiplo de sí mismo. Dicho al revés: a es múltiplo de b cuando a se puede dividir entre b sin resto, por ejemplo 20 entre 5.
¿Cómo calcular el mínimo común múltiplo con factores primos?
Descompón cada número en factores primos y multiplica todos los primos que aparecen, cada uno con su exponente mayor. Para 20 = 2² · 5 y 30 = 2 · 3 · 5, el mcm es 2² · 3 · 5 = 60. Para el mcd, en cambio, se toman solo los primos comunes con el exponente menor: 2 · 5 = 10.
¿Cuál es el mcm de 6 y 4?
Es 12. Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18 y los de 4 son 4, 8, 12, 16: el primero en común es el 12. Con el mcd se llega a lo mismo: el mcd de 6 y 4 es 2, y 6 · 4 / 2 = 24 / 2 = 12.
¿Cuál es el mcm de 3 y 7?
Es 21. El 3 y el 7 son primos distintos y no tienen más divisor común que el 1: cuando el mcd es 1, el mcm es el producto de los dos números, 3 · 7 = 21. Lo mismo pasa con mcm(3, 5) = 15 y mcm(7, 9) = 63.
¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2, 3, 4 y 5?
Es 60. Descomponiendo, 4 = 2² y 2, 3 y 5 son primos: de cada primo se toma el exponente mayor, así que mcm = 2² · 3 · 5 = 60. El 2 no añade nada porque divide al 4. En la calculadora, elige «4 números» e introdúcelos.
¿Qué relación hay entre el mcm y el mcd?
Para dos números a y b, el producto a · b es igual al producto de su mcm por su mcd. Por eso el mcm se obtiene dividiendo a · b entre el mcd. Para 8 y 12, el mcd es 4 y el mcm es 8 · 12 / 4 = 24. Con más de dos números la fórmula sencilla ya no vale: se va de dos en dos o con factores primos.
¿Se puede calcular el mcm de más de dos números?
Sí. Con factores primos no cambia nada: de cada primo cuenta el exponente mayor en cualquiera de los números. Para 6, 8 y 10 son 2³ (de 8), 3 (de 6) y 5 (de 10), así que mcm = 8 · 3 · 5 = 120. Paso a paso: mcm(6, 8) = 24 y luego mcm(24, 10) = 120. La calculadora admite de dos a cinco números.
¿Qué diferencia hay entre mcm y mcd?
El mcm es el menor múltiplo común; el mcd, el mayor divisor común. El mcm siempre es mayor o igual que el mayor de los números y el mcd, menor o igual que el menor. Para 12 y 18, el mcm es 36 y el mcd es 6.
¿Cuándo se usa el mcm en la vida real?
En la vida real, el mcm se usa para sumar y restar fracciones (es el denominador común), y para coordinar cosas que se repiten con periodos distintos: si un autobús sale cada 12 minutos y otro cada 18, vuelven a coincidir a los 36 minutos. También sirve para turnos, engranajes o comprar paquetes de tamaños diferentes sin que sobre nada.
¿Hay algún truco para hallar el mcm rápido?
Prueba los múltiplos del número mayor uno a uno hasta que todos los demás lo dividan. Dos atajos ahorran el cálculo: si un número es divisor del otro, el mcm es el mayor (el mcm de 6 y 12 es 12); si los dos números no tienen divisores comunes aparte del 1, se multiplican (el mcm de 7 y 9 es 63).
¿Por qué la calculadora no admite el cero ni los números negativos?
El cero es múltiplo de cualquier número; por eso se busca el menor múltiplo común positivo. Si entre los números hay un 0, no existe múltiplo común positivo, porque el único múltiplo de 0 es 0, y por convenio se toma mcm = 0. Como tiene poco interés práctico, la calculadora solo admite enteros desde 1. Con negativos se trabaja con los valores absolutos: mcm(−4, 6) = mcm(4, 6).
- Mínimo común múltiplo (Wikipedia)
- Máximo común divisor (Wikipedia)
- Euclides, Elementos, libro VII, proposición 34 (el menor número que miden dos números dados), edición de D. Joyce (Clark University)